在统计学和数据分析领域中，回归分析是一种重要的工具，用于研究变量之间的关系。其中，一元总体回归方程是最基础的形式之一，它描述了一个因变量与一个自变量之间的线性关系。

假设我们有一个数据集，其中包含n组观测值(x_i, y_i)，i=1,2,...,n。这里x_i表示自变量的第i个观测值，y_i表示因变量的对应观测值。我们的目标是找到一条直线来最好地拟合这些点，这条直线可以用数学公式表示为：

\[ y = \beta_0 + \beta_1x + \epsilon \]

其中：

- \( y \) 是因变量；

- \( x \) 是自变量；

- \( \beta_0 \) 是截距项，即当 \( x=0 \) 时 \( y \) 的预测值；

- \( \beta_1 \) 是斜率系数，表示 \( x \) 每增加一个单位时 \( y \) 的变化量；

- \( \epsilon \) 是误差项，代表模型未能解释的部分。

为了确定最佳拟合直线上的参数 \( \beta_0 \) 和 \( \beta_1 \)，通常采用最小二乘法。这种方法通过最小化所有观测点到直线的距离平方和（即残差平方和）来选择最优解。具体来说，我们需要解决以下优化问题：

\[ \min_{\beta_0,\beta_1} \sum_{i=1}^{n}(y_i - (\beta_0+\beta_1x_i))^2 \]

通过对上述目标函数求导并令其等于零，可以得到关于 \( \beta_0 \) 和 \( \beta_1 \) 的正常方程组：

\[ \frac{\partial}{\partial \beta_0} \sum_{i=1}^{n}(y_i - (\beta_0+\beta_1x_i))^2 = 0 \]

\[ \frac{\partial}{\partial \beta_1} \sum_{i=1}^{n}(y_i - (\beta_0+\beta_1x_i))^2 = 0 \]

解这个方程组即可得到 \( \beta_0 \) 和 \( \beta_1 \) 的估计值 \( \hat{\beta}_0 \) 和 \( \hat{\beta}_1 \)。这些估计值可以通过以下公式计算得出：

\[ \hat{\beta}_1 = \frac{\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2} \]

\[ \hat{\beta}_0 = \bar{y} - \hat{\beta}_1\bar{x} \]

其中，\( \bar{x} \) 和 \( \bar{y} \) 分别表示自变量和因变量的样本均值。

一旦得到了 \( \hat{\beta}_0 \) 和 \( \hat{\beta}_1 \)，我们就能够写出最终的一元总体回归方程：

\[ \hat{y} = \hat{\beta}_0 + \hat{\beta}_1x \]

此方程可用于预测新的 \( x \) 值对应的 \( y \) 值，并且还可以用来评估 \( x \) 对 \( y \) 的影响程度。需要注意的是，在实际应用中，还需要对模型进行诊断检查，确保满足基本假设条件如正态性、独立性和同方差性等，以保证结果的有效性和可靠性。