【几何分布的期望】在概率论中，几何分布是一种描述伯努利试验中首次成功发生所需试验次数的概率分布。它常用于模拟“第一次成功发生在第k次试验”的情况。几何分布有两种形式：一种是计数从1开始（即首次成功发生在第k次试验），另一种是计数从0开始（即首次成功发生在第k次试验前）。本文将主要讨论第一种形式，即首次成功发生在第k次试验的几何分布。
几何分布的概率质量函数为：
$$
P(X = k) = (1 - p)^{k-1} \cdot p, \quad k = 1, 2, 3, \dots
$$
其中，$p$ 是每次试验成功的概率，$X$ 表示首次成功所需的试验次数。
几何分布的期望值表示在进行一系列独立的伯努利试验时，首次成功平均需要多少次试验。其数学表达式如下：
$$
E(X) = \frac{1}{p}
$$
这个结果直观地说明了：当成功的概率 $p$ 越高，期望值越小；反之，当 $p$ 越低，期望值越大。
例如：
- 若 $p = 0.5$，则期望值为 $2$ 次；
- 若 $p = 0.2$，则期望值为 $5$ 次；
- 若 $p = 0.1$，则期望值为 $10$ 次。
总结与表格
| 参数 | 含义 | 公式 |
| $X$ | 首次成功发生的试验次数 | — |
| $p$ | 每次试验成功的概率 | — |
| $P(X = k)$ | 首次成功发生在第 $k$ 次试验的概率 | $(1 - p)^{k-1} \cdot p$ |
| $E(X)$ | 几何分布的期望值 | $\frac{1}{p}$ |
通过上述分析可以看出，几何分布的期望是一个简洁而重要的统计量，能够帮助我们理解在随机事件中首次成功所需的平均尝试次数。这一概念在实际应用中广泛存在，如产品质量检测、网络请求重试机制、游戏中的奖励机制等。了解几何分布的期望有助于我们在面对不确定性时做出更合理的预测和决策。
