【分布函数怎么求】在概率论与数理统计中，分布函数是一个非常重要的概念，用于描述随机变量的取值规律。对于不同的随机变量类型（离散型或连续型），分布函数的求法也有所不同。本文将对“分布函数怎么求”这一问题进行总结，并通过表格形式清晰展示不同情况下的求解方法。
一、什么是分布函数？
设 $ X $ 是一个随机变量，定义在样本空间 $ \Omega $ 上，其分布函数 $ F(x) $ 定义为：
$$
F(x) = P(X \leq x)
$$
即：随机变量 $ X $ 小于等于某个值 $ x $ 的概率。
二、分布函数的求法总结
| 类型 | 分布函数定义 | 求法说明 |
| 离散型随机变量 | $ F(x) = \sum_{x_i \leq x} P(X = x_i) $ | 对于每个可能的取值 $ x_i $，计算所有小于等于 $ x $ 的概率之和 |
| 连续型随机变量 | $ F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) dt $ | 通过密度函数 $ f(t) $ 在区间 $ (-\infty, x] $ 上积分得到 |
| 累积分布函数（CDF） | $ F(x) = P(X \leq x) $ | 通用定义，适用于任何类型的随机变量 |
三、常见分布的分布函数示例
| 分布名称 | 随机变量类型 | 分布函数表达式 |
| 伯努利分布 | 离散型 | $ F(x) = \begin{cases} 0 & x < 0 \\ 1 - p & 0 \leq x < 1 \\ 1 & x \geq 1 \end{cases} $ |
| 二项分布 | 离散型 | $ F(x) = \sum_{k=0}^{\lfloor x \rfloor} C_n^k p^k (1-p)^{n-k} $ |
| 正态分布 | 连续型 | $ F(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{x} e^{-t^2/2} dt $ |
| 均匀分布 | 连续型 | $ F(x) = \begin{cases} 0 & x < a \\ \frac{x - a}{b - a} & a \leq x \leq b \\ 1 & x > b \end{cases} $ |
| 指数分布 | 连续型 | $ F(x) = 1 - e^{-\lambda x} $（当 $ x \geq 0 $） |
四、注意事项
- 离散型随机变量的分布函数是阶梯函数，只在某些点上跳跃。
- 连续型随机变量的分布函数是连续且单调递增的。
- 分布函数具有非降性、右连续性和极限性质（$ \lim_{x \to -\infty} F(x) = 0 $，$ \lim_{x \to +\infty} F(x) = 1 $）。
五、总结
“分布函数怎么求”这个问题的答案取决于随机变量的类型。无论是离散还是连续型，都可以根据其概率分布或密度函数来求出对应的分布函数。掌握这些基本方法，有助于进一步理解随机变量的统计特性，为后续的概率计算和统计推断打下基础。
