【正交变换的定义】正交变换是线性代数中的一个重要概念，广泛应用于几何、物理和工程等领域。它描述了一种保持向量长度和夹角不变的线性变换。以下是对正交变换的总结与详细说明。

一、正交变换的定义

正交变换（Orthogonal Transformation）是指在欧几里得空间中，保持向量之间的内积不变的线性变换。换句话说，如果一个线性变换 $ T $ 满足对任意两个向量 $ \mathbf{u}, \mathbf{v} $，都有：

$$

T(\mathbf{u}) \cdot T(\mathbf{v}) = \mathbf{u} \cdot \mathbf{v}

$$

则称 $ T $ 是一个正交变换。

此外，正交变换还具有如下性质：

- 保持向量的长度不变：$ \T(\mathbf{u})\ = \\mathbf{u}\ $

- 保持向量间的夹角不变

- 正交变换的矩阵表示是一个正交矩阵，即满足 $ Q^T Q = I $，其中 $ I $ 是单位矩阵，$ Q^T $ 是 $ Q $ 的转置

二、正交变换的特点总结

三、常见例子

1. 旋转：在二维平面上绕原点旋转一定角度的变换是正交变换。

2. 反射：关于某条直线或平面的对称变换也是正交变换。

3. 坐标轴重排：如将坐标系进行旋转或翻转，但保持各轴正交的变换。

四、应用领域

- 几何学：用于描述图形的刚体运动（旋转、平移、反射等）

- 计算机图形学：用于实现对象的旋转、缩放和投影

- 信号处理：如傅里叶变换、小波变换等涉及正交基的变换

- 物理学：在力学、电磁学中描述对称性和守恒律

五、小结

正交变换是一种重要的线性变换，其核心在于保持向量之间的几何关系不变。通过使用正交矩阵来表示，它在数学和工程中有着广泛的应用。理解正交变换有助于深入掌握线性代数中的几何意义，并为后续学习如特征值、奇异值分解等提供基础。