【ln sup2 x的原函数是什么】在微积分中，求一个函数的原函数（即不定积分）是一项基本但重要的任务。对于函数 $ \ln^2 x $，其原函数并不是一个简单的表达式，需要通过分部积分法进行推导。
一、
函数 $ \ln^2 x $ 的原函数可以通过分部积分法来求解。首先，将 $ \ln^2 x $ 视为两个函数的乘积，分别设为 $ u = \ln^2 x $ 和 $ dv = dx $。然后按照分部积分公式：
$$
\int u \, dv = uv - \int v \, du
$$
逐步计算后可以得到：
$$
\int \ln^2 x \, dx = x \ln^2 x - 2x \ln x + 2x + C
$$
其中，$ C $ 是积分常数。
为了更清晰地展示这一过程，下面以表格形式列出关键步骤和结果。
二、表格展示
| 步骤 | 过程 | 结果 |
| 1 | 设 $ u = \ln^2 x $, $ dv = dx $ | 分部积分法准备 |
| 2 | 计算 $ du $: $ du = 2 \ln x \cdot \frac{1}{x} dx $ | $ du = \frac{2 \ln x}{x} dx $ |
| 3 | 计算 $ v $: $ v = \int dv = \int dx = x $ | $ v = x $ |
| 4 | 应用分部积分公式：$ \int \ln^2 x \, dx = x \ln^2 x - \int x \cdot \frac{2 \ln x}{x} dx $ | $ \int \ln^2 x \, dx = x \ln^2 x - 2 \int \ln x \, dx $ |
| 5 | 再次使用分部积分法计算 $ \int \ln x \, dx $ | 设 $ u_1 = \ln x $, $ dv_1 = dx $ |
| 6 | 计算 $ du_1 = \frac{1}{x} dx $, $ v_1 = x $ | 得到 $ \int \ln x \, dx = x \ln x - \int x \cdot \frac{1}{x} dx = x \ln x - x $ |
| 7 | 代入原式：$ \int \ln^2 x \, dx = x \ln^2 x - 2(x \ln x - x) $ | $ \int \ln^2 x \, dx = x \ln^2 x - 2x \ln x + 2x $ |
| 8 | 加上积分常数 $ C $ | 最终结果为：$ x \ln^2 x - 2x \ln x + 2x + C $ |
三、结论
函数 $ \ln^2 x $ 的原函数为：
$$
x \ln^2 x - 2x \ln x + 2x + C
$$
该结果可以通过分部积分法逐步推导得出，适用于不定积分的计算场景。
