【x sup2 e的x次方的积分】在微积分中，求解形如 $ x^2 e^x $ 的积分是一个常见的问题。由于被积函数是多项式与指数函数的乘积，通常需要使用分部积分法来解决。以下是对该积分的详细总结与计算过程。
一、积分公式
我们要求的是：
$$
\int x^2 e^x \, dx
$$
这是一个典型的多项式乘以指数函数的积分，适合用分部积分法进行求解。
二、分部积分法步骤
分部积分法的基本公式为：
$$
\int u \, dv = uv - \int v \, du
$$
我们设：
- $ u = x^2 $，则 $ du = 2x \, dx $
- $ dv = e^x \, dx $，则 $ v = e^x $
代入公式得：
$$
\int x^2 e^x \, dx = x^2 e^x - \int 2x e^x \, dx
$$
接下来对 $ \int 2x e^x \, dx $ 再次使用分部积分法：
- 设 $ u = 2x $，则 $ du = 2 \, dx $
- $ dv = e^x \, dx $，则 $ v = e^x $
所以：
$$
\int 2x e^x \, dx = 2x e^x - \int 2 e^x \, dx = 2x e^x - 2 e^x
$$
将结果代回原式：
$$
\int x^2 e^x \, dx = x^2 e^x - (2x e^x - 2 e^x) + C
$$
化简后得到：
$$
\int x^2 e^x \, dx = e^x (x^2 - 2x + 2) + C
$$
三、结果总结
| 步骤 | 积分表达式 | 结果 |
| 第一步 | $ \int x^2 e^x \, dx $ | $ x^2 e^x - \int 2x e^x \, dx $ |
| 第二步 | $ \int 2x e^x \, dx $ | $ 2x e^x - 2 e^x $ |
| 最终结果 | $ \int x^2 e^x \, dx $ | $ e^x (x^2 - 2x + 2) + C $ |
四、结论
通过分部积分法，我们成功地求出了 $ x^2 e^x $ 的不定积分，其结果为：
$$
\int x^2 e^x \, dx = e^x (x^2 - 2x + 2) + C
$$
此方法适用于类似形式的多项式与指数函数相乘的积分问题，具有较强的通用性。
