【三角函数变换公式】在数学中，三角函数的变换公式是解决三角问题的重要工具，广泛应用于几何、物理、工程等领域。这些公式可以帮助我们简化表达式、求解方程或进行角度转换。以下是对常见三角函数变换公式的总结，并通过表格形式进行归纳整理。
一、基本恒等式
1. 毕达哥拉斯恒等式
- $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$
- $1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta$
- $1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta$
2. 倒数关系
- $\sin\theta = \frac{1}{\csc\theta}$
- $\cos\theta = \frac{1}{\sec\theta}$
- $\tan\theta = \frac{1}{\cot\theta}$
二、和差角公式
| 公式 | 表达式 |
| 正弦和差公式 | $\sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B$ |
| 余弦和差公式 | $\cos(A \pm B) = \cos A \cos B \mp \sin A \sin B$ |
| 正切和差公式 | $\tan(A \pm B) = \frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A \tan B}$ |
三、倍角公式
| 公式 | 表达式 |
| 正弦倍角 | $\sin 2\theta = 2\sin\theta \cos\theta$ |
| 余弦倍角（三种形式） | $\cos 2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta$ $= 2\cos^2\theta - 1$ $= 1 - 2\sin^2\theta$ |
| 正切倍角 | $\tan 2\theta = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta}$ |
四、半角公式
| 公式 | 表达式 |
| 正弦半角 | $\sin\frac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{2}}$ |
| 余弦半角 | $\cos\frac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}}$ |
| 正切半角 | $\tan\frac{\theta}{2} = \frac{\sin\theta}{1 + \cos\theta} = \frac{1 - \cos\theta}{\sin\theta}$ |
五、积化和差公式
| 公式 | 表达式 |
| $\sin A \cos B$ | $\frac{1}{2} [\sin(A+B) + \sin(A-B)]$ |
| $\cos A \cos B$ | $\frac{1}{2} [\cos(A+B) + \cos(A-B)]$ |
| $\sin A \sin B$ | $\frac{1}{2} [\cos(A-B) - \cos(A+B)]$ |
六、和差化积公式
| 公式 | 表达式 |
| $\sin A + \sin B$ | $2\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right)$ |
| $\sin A - \sin B$ | $2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)\sin\left(\frac{A-B}{2}\right)$ |
| $\cos A + \cos B$ | $2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right)$ |
| $\cos A - \cos B$ | $-2\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\sin\left(\frac{A-B}{2}\right)$ |
七、其他常用公式
| 公式 | 表达式 |
| 三角函数周期性 | $\sin(\theta + 2\pi) = \sin\theta$ $\cos(\theta + 2\pi) = \cos\theta$ $\tan(\theta + \pi) = \tan\theta$ |
| 诱导公式（角度与单位圆） | $\sin(\pi - \theta) = \sin\theta$ $\cos(\pi - \theta) = -\cos\theta$ $\tan(\pi - \theta) = -\tan\theta$ |
总结
三角函数变换公式是学习三角学的基础内容之一，掌握这些公式不仅有助于理解三角函数的性质，还能在实际应用中提高计算效率。通过灵活运用这些公式，可以更方便地处理复杂的三角问题，如求值、化简、证明等。建议在学习过程中结合图形理解和记忆，以加深对公式的掌握程度。
附表：三角函数变换公式汇总
| 类型 | 公式 |
| 恒等式 | $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ |
| 和差角 | $\sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B$ |
| 倍角 | $\sin 2\theta = 2\sin\theta \cos\theta$ |
| 半角 | $\sin\frac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{2}}$ |
| 积化和差 | $\sin A \cos B = \frac{1}{2}[\sin(A+B) + \sin(A-B)]$ |
| 和差化积 | $\sin A + \sin B = 2\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right)$ |
| 周期性 | $\sin(\theta + 2\pi) = \sin\theta$ |
