【高中数学常用公式有哪些】在高中阶段，数学学习内容逐渐加深，涉及的知识点也更加广泛。掌握一些常用的数学公式，不仅有助于理解知识点，还能在解题过程中提高效率。以下是对高中数学中常见公式的总结，便于学生复习和记忆。
一、代数部分
1. 二次方程求根公式
对于形如 $ ax^2 + bx + c = 0 $ 的方程，其解为：
$$
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
$$
2. 因式分解公式
- 平方差：$ a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) $
- 完全平方：$ a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2 $
- 立方和与立方差：
$$
a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2), \quad a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)
$$
3. 等差数列通项公式
$$
a_n = a_1 + (n - 1)d
$$
其中 $ a_1 $ 为首项，$ d $ 为公差。
4. 等比数列通项公式
$$
a_n = a_1 \cdot r^{n-1}
$$
其中 $ a_1 $ 为首项，$ r $ 为公比。
5. 等差数列前 n 项和公式
$$
S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)
$$
6. 等比数列前 n 项和公式（当 $ r \neq 1 $）
$$
S_n = \frac{a_1(1 - r^n)}{1 - r}
$$
二、几何部分
1. 勾股定理
在直角三角形中，满足：
$$
a^2 + b^2 = c^2
$$
其中 $ c $ 为斜边，$ a $、$ b $ 为直角边。
2. 圆的周长与面积公式
- 周长：$ C = 2\pi r $
- 面积：$ A = \pi r^2 $
3. 三角形面积公式
- 底乘高除以 2：$ S = \frac{1}{2} \times \text{底} \times \text{高} $
- 海伦公式：若三边为 $ a, b, c $，则面积为：
$$
S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}, \quad p = \frac{a + b + c}{2}
$$
4. 正弦定理
$$
\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R
$$
其中 $ R $ 为外接圆半径。
5. 余弦定理
$$
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C
$$
三、三角函数部分
1. 基本三角函数关系
- $ \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 $
- $ \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} $
- $ \cot \theta = \frac{1}{\tan \theta} $
2. 和差公式
- $ \sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B $
- $ \cos(A \pm B) = \cos A \cos B \mp \sin A \sin B $
3. 倍角公式
- $ \sin 2\theta = 2\sin \theta \cos \theta $
- $ \cos 2\theta = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta $
四、立体几何部分
1. 柱体体积公式
$$
V = S_{\text{底}} \cdot h
$$
其中 $ S_{\text{底}} $ 为底面积，$ h $ 为高。
2. 锥体体积公式
$$
V = \frac{1}{3} S_{\text{底}} \cdot h
$$
3. 球体体积与表面积公式
- 体积：$ V = \frac{4}{3}\pi r^3 $
- 表面积：$ S = 4\pi r^2 $
五、概率与统计部分
1. 概率基本公式
- 事件 A 的概率：$ P(A) = \frac{\text{有利结果数}}{\text{总结果数}} $
- 互斥事件的概率加法：$ P(A \cup B) = P(A) + P(B) $
- 独立事件的概率乘法：$ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) $
2. 期望值公式
若随机变量 X 可取值 $ x_1, x_2, ..., x_n $，对应的概率为 $ p_1, p_2, ..., p_n $，则期望为：
$$
E(X) = x_1p_1 + x_2p_2 + ... + x_np_n
$$
六、导数与微积分基础
1. 基本导数公式
- $ \frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1} $
- $ \frac{d}{dx} \sin x = \cos x $
- $ \frac{d}{dx} \cos x = -\sin x $
- $ \frac{d}{dx} e^x = e^x $
2. 积分公式（不定积分）
- $ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $（$ n \neq -1 $）
- $ \int \sin x dx = -\cos x + C $
- $ \int \cos x dx = \sin x + C $
总结表格
| 类别 | 公式 | 说明 |
| 二次方程 | $ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $ | 求解一般二次方程 |
| 等差数列 | $ a_n = a_1 + (n - 1)d $ | 通项公式 |
| 等比数列 | $ a_n = a_1 \cdot r^{n-1} $ | 通项公式 |
| 圆 | $ C = 2\pi r $, $ A = \pi r^2 $ | 周长与面积 |
| 三角形面积 | $ S = \frac{1}{2} \times \text{底} \times \text{高} $ | 基本面积公式 |
| 勾股定理 | $ a^2 + b^2 = c^2 $ | 直角三角形 |
| 正弦定理 | $ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} $ | 三角形边角关系 |
| 导数 | $ \frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1} $ | 基本导数公式 |
| 积分 | $ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $ | 不定积分 |
以上是高中数学中较为常见的公式汇总，建议在学习过程中结合例题进行练习，以加深理解和记忆。
