【向量的叉乘公式】在三维空间中，向量的叉乘（也称为向量积）是一种重要的运算，常用于计算与两个向量都垂直的第三个向量。它在物理、工程和计算机图形学等领域有广泛应用。以下是关于向量叉乘公式的总结。
一、基本概念
向量的叉乘是两个三维向量之间的运算，其结果是一个新的向量，该向量的方向垂直于原两个向量所确定的平面，并且满足右手定则。叉乘的结果向量的大小等于这两个向量构成的平行四边形的面积。
二、叉乘公式
设向量 a = (a₁, a₂, a₃) 和 b = (b₁, b₂, b₃)，则它们的叉乘 a × b 的公式为：
$$
\mathbf{a} \times \mathbf{b} =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
a_1 & a_2 & a_3 \\
b_1 & b_2 & b_3 \\
\end{vmatrix}
= (a_2b_3 - a_3b_2)\mathbf{i} - (a_1b_3 - a_3b_1)\mathbf{j} + (a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{k}
$$
也可以表示为：
$$
\mathbf{a} \times \mathbf{b} = (a_2b_3 - a_3b_2,\ a_3b_1 - a_1b_3,\ a_1b_2 - a_2b_1)
$$
三、叉乘的性质
| 性质 | 描述 |
| 反交换性 | $\mathbf{a} \times \mathbf{b} = -(\mathbf{b} \times \mathbf{a})$ |
| 分配律 | $\mathbf{a} \times (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = \mathbf{a} \times \mathbf{b} + \mathbf{a} \times \mathbf{c}$ |
| 与标量相乘 | $(k\mathbf{a}) \times \mathbf{b} = k(\mathbf{a} \times \mathbf{b})$ |
| 零向量 | 如果 $\mathbf{a} \parallel \mathbf{b}$，则 $\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \mathbf{0}$ |
四、应用示例
假设 $\mathbf{a} = (1, 2, 3)$，$\mathbf{b} = (4, 5, 6)$，则：
$$
\mathbf{a} \times \mathbf{b} =
(2 \cdot 6 - 3 \cdot 5,\ 3 \cdot 4 - 1 \cdot 6,\ 1 \cdot 5 - 2 \cdot 4) = (12 - 15,\ 12 - 6,\ 5 - 8) = (-3,\ 6,\ -3)
$$
五、总结
向量的叉乘是向量运算中一种重要的工具，能够得到一个与原两个向量垂直的新向量。其计算方式可以通过行列式或分量形式进行，具有明确的数学表达和物理意义。理解并掌握叉乘的公式和性质，有助于解决许多实际问题。
