【三角函数正切公式】在三角函数中，正切（Tangent）是一个非常重要的函数，广泛应用于数学、物理和工程等领域。正切函数通常用符号“tan”表示，其定义为直角三角形中对边与邻边的比值。在单位圆中，正切可以表示为正弦与余弦的比值。以下是对常见正切公式的总结，并通过表格形式进行展示，便于理解和记忆。

一、基本正切公式

1. 定义式

在直角三角形中，设一个锐角为θ，则：

$$

\tan\theta = \frac{\text{对边}}{\text{邻边}}

$$

2. 单位圆定义

在单位圆中，若点P(x, y)是角θ的终边与单位圆的交点，则：

$$

\tan\theta = \frac{y}{x}

$$

3. 正切与正弦、余弦的关系

$$

\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}

$$

4. 倒数关系

正切的倒数是余切（Cotangent），即：

$$

\cot\theta = \frac{1}{\tan\theta}

$$

二、常用角度的正切值

三、正切的加减公式

1. 两角和公式

$$

\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha\tan\beta}

$$

2. 两角差公式

$$

\tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1 + \tan\alpha\tan\beta}

$$

四、倍角公式

1. 二倍角公式

$$

\tan(2\theta) = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta}

$$

2. 三倍角公式

$$

\tan(3\theta) = \frac{3\tan\theta - \tan^3\theta}{1 - 3\tan^2\theta}

$$

五、半角公式

$$

\tan\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{\sin\theta}{1 + \cos\theta} = \frac{1 - \cos\theta}{\sin\theta}

$$

六、正切的周期性与奇偶性

- 周期性：正切函数的周期为π，即：

$$

\tan(\theta + n\pi) = \tan\theta \quad (n \in \mathbb{Z})

$$

- 奇函数：正切函数满足：

$$

\tan(-\theta) = -\tan\theta

$$

七、正切的图像与性质

- 图像是一条连续的曲线，每隔π重复一次。

- 在$\theta = \frac{\pi}{2} + n\pi$处有垂直渐近线。

- 定义域为所有实数，除了上述渐近线位置。

- 值域为全体实数。

总结

正切函数作为三角函数的重要组成部分，具有丰富的公式和应用价值。掌握其基本定义、常用角度值、加减公式、倍角公式以及图像特性，有助于在实际问题中灵活运用。通过表格形式整理这些公式，能够更清晰地理解其结构与逻辑关系，提高学习效率。